原题次数先对齐。GT6写的是“reroll up to 3 times”，按字面是初掷一次加三次重掷，最多四掷。概率题P35、P49、P55、P77则是最多三掷。两种都可用同一个状态：\(V_k\)表示还可以掷k次、尚未看到下一点数时的最优期望，\(V_1=7/2\)，\(V_k=\frac16\sum_{x=1}^6\max(x,V_{k-1})\)。

代入得\(V_2=17/4=4.25\)、\(V_3=14/3\approx4.6667\)、\(V_4=89/18\approx4.9444\)。四掷版本：初掷看到5或6就停；剩三掷时仍保留5或6；剩两掷时保留4、5、6；最后一掷必须接受。三掷版本则从“剩三掷”那层开始，第二掷的阈值是4，不能仍说只留5、6。

子问a：三颗骰子同时看、取最大。其尾和为

因此在风险中性、同单位奖金且无额外费用时，三骰取最大值比四次顺序停止略值钱，差为1/72；比三次顺序停止更值钱，差为7/24。这里数值比较不能仅凭“看得更多”解释四掷与三骰的大小，因为两者样本数不同。

子问b：100倍一局还是1倍100局。设单局净收益X均值μ、方差σ²，100局相互独立，且费用也按下注倍数线性缩放。则100X与\(\sum_{i=1}^{100}X_i\)的期望同为100μ，方差分别为10000σ²与100σ²。风险中性者期望无差别；凹效用下独立分散通常更优。μ为负也不会打破两种玩法的期望相等，可选择不参与；不能说“100倍只玩一局就少亏”。非线性收费、相关局或破产限制另算。

建模。每局你的财富 ±1，总盘固定为 \(2+1 = 3\) 英镑；你的财富在 \(\{0,1,2,3\}\) 上做公平随机游走，0 为你破产、3 为我破产。要的是从 \(i=2\) 出发先碰 0 的概率——标准赌徒破产。

推导。令 \(u_{i}\) 为你在财富 \(i\) 处的破产概率：

递推的通解是线性函数 \(u_{i} = A + Bi\)（代回验证：\(A + Bi = \tfrac12(A+Bi-B) + \tfrac12(A+Bi+B)\) 恒成立）。边界条件：\(A = 1\)、\(A + 3B = 0\)，得 \(B = -\tfrac13\)：

我把你打破产的概率是 1/3；你把我打破产的概率是 2/3——资本优势以 2:1 直接兑换成胜率优势。

检验。用一般公式 \(u_{i} = 1 - \tfrac{i}{N}\) 复核：\(i=2, N=3\)，同样得 \(\tfrac13\)。另一条独立路径：公平随机游走从 2 出发，首达 \(\{0,3\}\) 的分布满足马尔汀格尔（鞅，martingale）论证 \(\mathbb{E}[\text{终态}] = 2 = 3 \times \Pr[\text{达 3}]\)，得 \(\Pr[\text{达 3}] = \tfrac23\)，破产概率 \(\tfrac13\)——两条路都通。边界直觉：你资本翻我，输的却是你的概率只有一半不到，说明「公平赌局 + 深口袋」就是结构性优势。

面试怎么讲。「总盘 3 英镑的公平破产问题：\(u_i = \tfrac12 u_{i-1} + \tfrac12 u_{i+1}\)，线性解配边界 0 和 3，从 2 出发破产概率 \(\tfrac13\)。」加一句延伸：「若局不公平（比如你胜率 48%），解变成几何形 \(\frac{(q/p)^i - (q/p)^N}{1-(q/p)^N}\)，我的胜率会显著高于 \(\tfrac13\)——资金管理不能把单局负期望变为正期望，但能改变命中目标的概率与收益分布。」这句直接把话头递给下一题。

先区分固定注额与最小下注单位。原句“只能按某数量下注”可指每局固定下注s，也可指允许下注s的任意整数倍。以下先按固定注额、无手续费、资金到0或100就停，三种s都整除起点与终点。

公平局。令i=10/s、N=100/s，胜率p=1/2时成功概率为i/N=10%。三种固定注额成功概率相同。平均局数为\(i(N-i)=10(100-10)/s^2=900/s^2\)：s=10时9局，s=1时900局，s=0.01时900万局，耗时按注额平方反比变化。

胜率40%的固定注额局。令r=(1−p)/p=1.5，成功概率为

s=10时，i=1、N=10，成功概率约0.008824，即0.8824%；s=1时约\(1.393\times10^{-16}\)；s=0.01时更小。因此在这三个固定注额中选10。解释是较细的固定步长需要更多次暴露在不利赔率下，不是说提高波动总能改善任何目标。

若只限制最小单位。允许以0.01为单位，就也允许下注10，细单位的策略集合包含粗单位，最优成功率不可能因此变差。可以比较“大胆下注”策略：每局押当前资金与距100差额的较小者，避免超过目标；在40%胜率下它从10起步可达约4.346%的成功率，但这已不是每局固定10的0.8824%。若存在额外注额上限、禁止同一玩法、超目标返还规则或成本，须重新定义状态并优化，不能把固定步长公式直接当作所有资金管理策略的上限。

建模。每局财富乘 \(1+2f\)（概率 \(\tfrac12\)）或 \(1-f\)（概率 \(\tfrac12\)），是知识点二的乘性随机游走，\(b=2\)、\(p=q=\tfrac12\)。三个问题分别对应期望、增长率、风险偏好三层。

推导。期望收益：每局期望乘子 \(\tfrac{1}{2}(1+2f)+\tfrac{1}{2}(1-f) = 1+\tfrac{f}{2}\)，独立相乘：

对一切 \(f \gt 0\) 期望都指数增长，\(f=1\)（全押）时期望最大：\(\mathbb{E}[W_{n}] = 1.5^{\,n} W_{0}\)。最优下注（长期典型财富）来自 \(g(f) = \tfrac12\ln(1+2f) + \tfrac12\ln(1-f)\)，一阶条件 \(\tfrac{1}{1+2f} = \tfrac{1}{2(1-f)}\) 给出：

中位数与期望的分裂：\(g(f) \gt 0\) 等价于 \((1+2f)(1-f) \gt 1\)，即 \(f \lt \tfrac12\)。全押 \(f=1\) 时：期望 \(1.5^{n}\) 蒸蒸日上，但活过 \(n\) 局的概率是 \(2^{-n}\)，中位数财富为 0——「平均暴富、典型破产」。押 \(f = \tfrac12\) 恰在临界：典型财富原地踏步；只有 \(0 \lt f \lt \tfrac12\) 才「典型地」越玩越富，其中 \(f = \tfrac14\) 最快。风险偏好分层：更厌恶风险、或考虑参数不确定性的投资者可考虑分数Kelly（如 \(\tfrac18\)），但具体比例须由效用和约束决定；最大化期望财富的风险中性者押 \(f=1\)；最大化对数效用者才押 \(\tfrac14\)。全押f=1的概率分布把财富集中在“2⁻ⁿ概率幸存、拿3ⁿ倍资本”的路径，破产概率趋于1；这不是Kelly比例1/4的结局。三种选择的概率结局：\(f \lt \tfrac12\) 时 \(\Pr[W_{n} \gt W_{0}] \to 1\)；\(f = \tfrac12\) 时趋于 \(\tfrac12\)；\(f \gt \tfrac12\) 时趋于 0——与期望口径可以完全反向。

检验。数值抽查 \(f=\tfrac14\)：\(g = \tfrac12\ln(1.5 \times 0.75) = \tfrac12\ln 1.125 \gt 0\) ✓；\(f=\tfrac12\)：\((2)(0.5) = 1\)，\(g = 0\) ✓；\(f = 1\)：\(\ln 0 = -\infty\)，破产即出局 ✓。方向核对：赔率越好 \(f^{*}\) 越大、胜率越低 \(f^{*}\) 越小，与凯利公式 \(f^{*} = \tfrac{pb-q}{b}\) 的行为一致。

面试怎么讲。「期望口径每局乘 \(1+\tfrac{f}{2}\)，全押期望最大；但长期典型财富由对数增长率决定，Kelly 给 \(f^{*} = \tfrac14\)、每局约 5.9%；全押的期望 \(1.5^{n}\) 与中位数 0 并存，这就是均值—中位数分裂。风险厌恶押分数 Kelly，风险偏好者向全押滑动、代价是破产概率趋一。」把公式、临界值 \(\tfrac12\)、分裂现象三层讲全，这题（源题原本就是开放讨论）就没有可追问的死角了。

建模。这是一道陷阱题：题面预设「期望终会转负」，而正确的第一反应是——它不会。分两种玩法验证。固定押 1 美元（赢则净赚 1、输则净亏 1）：每局期望变化 \(\tfrac12(1) + \tfrac12(-1) = 0\)，你的财富是鞅，任何局数下期望收益恒为 0，永不为负。全押翻倍（每局押上全部）：第 \(n\) 局后财富是 \(2^{n}\)（概率 \(2^{-n}\)）或 0（概率 \(1-2^{-n}\)），期望财富：

依然恒等于初始的 1 美元，任何 \(n\) 都不转负。

推导：那什么在「转负」？把口径换成对数或中位数，恶化从第一局就开始：全押玩法的存活概率 \(2^{-n}\) 指数坍缩，中位数财富从第 1 局起就是 0；每局对数增长的期望是 \(\tfrac12\ln 2 + \tfrac12\ln 0 = -\infty\)（0 的对数），即任何正概率的清零都让对数期望直接负无穷。固定押注口径下（允许破产垫资、永不停止），对数口径同样不占便宜：财富从 \(W\) 变到 \(W+1\) 或 \(W-1\)，两支的乘积 \(\tfrac{W+1}{W} \cdot \tfrac{W-1}{W} = 1 - \tfrac{1}{W^{2}} \lt 1\)——赢一元与输一元对复利路径的影响不对称，期望对数财富每局变化 \(\tfrac12\ln\!\big(1-\tfrac{1}{W^{2}}\big) \lt 0\)，缓慢走低（同 011 章几何平均 \(\sqrt{1.1 \times 0.9} \lt 1\) 的机制）。题目问「多少局后转负」的正确回答是：期望永远不转负，转负的是你的典型处境——问句本身把「期望」与「大概率结果」混为一谈，指出这一点就是这道题的考点。

检验。鞅口径：两种玩法的财富过程均为鞅（全押版本的终态支撑 \(\{0, 2^{n}\}\)，期望恒 1 ✓）。中位数口径：全押 \(n \ge 1\) 时中位数为 0 ✓。与例题 4 的分裂框架完全一致：\(f=1\) 时 \(\mathbb{E}[W_n] = 1.5^{n}\)（三倍游戏）或 \(=1\)（双倍游戏），中位数都趋于 0——同一现象的又一实例。

面试怎么讲。「先纠正前提：五五开翻倍清零的期望收益永远是零（或期望财富恒为 1），不存在转负的局数——鞅性质钉死的。真正随局数恶化的是中位数和对数期望：全押玩法第一局后中位数就是 0，存活概率每局减半。」敢于当面指出题目的预设错误，并给出「它想问的那个量」的正确算法，是这类陷阱题的唯一满分路径。

建模。公平硬币 + 无任何信息：猜什么都不会改变对错概率——任何确定性或随机化策略下，第 \(t\) 局的收益都是独立同分布的 \(\pm 1\) 各半。你的累计收益 \(S_{n} = X_{1} + \cdots + X_{n}\) 是公平随机游走。设一个交易日玩一局，一年 252 个交易日（与 037 章夏普年化口径一致）。

推导。策略：随便猜（固定猜正即可）；存在「有信息的策略」这个幻觉本身就是考点——期望上没有免费午餐。期望：单局 \(\mathbb{E}[X] = 0\)，由线性性，一天、一年、两年、任何时间的期望收益都是 0。标准差：单局 \(\sigma = 1\) 美元；\(n\) 局独立求和 \(\sigma_{n} = \sqrt{n}\)。一年（252 局）：

两年后亏钱的概率：\(S_{504}\) 的分布关于 0 对称，\(\Pr[S_{504} \lt 0] = \Pr[S_{504} \gt 0]\)，中间夹着 \(\Pr[S_{504} = 0] = \binom{504}{252} 2^{-504} \approx 3.6\%\)（中心二项系数的渐近 \(\sqrt{2/(\pi n)}\)）。于是：

约一半。玩两年，亏钱概率仍然是掷硬币级别的 50%——时间没有带来任何确定性，只把盈亏的美元幅度放大了 \(\sqrt{t}\) 倍。

检验。对称性核对：分布关于 0 对称，「亏钱概率略低于 50%」恰是打平那 3.6% 的贡献，方向正确。与夏普口径互查：任何周期的夏普比率都是 \(\tfrac{0}{\sigma\sqrt{t}} = 0\)，年化与否都为零——「零优势策略不会因为玩得久而变好」在 037 章的反面表述是：正优势（夏普为正）的策略，亏钱概率才随时间按 \(\Phi(-\mu\sqrt{t}/\sigma)\) 压向零，优势以 \(\sqrt{t}\) 复利。

面试怎么讲。「无信息下任何策略等价于抛硬币：策略上无文章可做，期望恒 0。一年标准差 \(\sqrt{252} \approx 16\) 美元；两年亏钱概率约 48%——零期望策略玩多久都是抛硬币，唯一的复利来源是优势本身，这也是夏普比率存在的理由。」最后一句把题从「猜硬币」抬到「为什么要做量化」，是这类题最好的收尾。