相同条款下，美式不低于欧式。标的、执行价、到期、结算与其他条款相同，美式可选择只在到期行权，包含欧式的行权策略，所以\(V_A\ge V_E\)。无股息、非负利率等常见条件下，美式看涨通常不提前行权，因此与同条款欧式看涨相等；有股息或看跌期权则可能有正的提前行权价值。

两个欧式不同到期，不能直接用“权利包含”。长到期欧式只能在其自身到期日行权，不能选择在短到期日提前行权。无股息、非负利率下的欧式看涨可用无套利界和条件期望证明期限非减；但这不是所有欧式期权的普遍结论。

反例。零波动、恒定非负利率r且不分红时，深度实值欧式看跌在保持实值的期限内有\(P(T)=Ke^{-rT}-S_0\)，随T增加而下降。带分红的看涨，跨过除息日期的期限比较也须重新分析。不同期限美式在可行行权日期集合确实嵌套、其他条款一致时，才可直接用更多行权机会作比较。

最小回答。先问call还是put、股息和利率、两合约其他条款是否相同；同到期欧美式比较给美式≥欧式，不同到期的欧式给条件结论与反例。不能先用错误的提前行权论证，再靠文末补充纠正。

建模。参数清单即 F6 的六输入（\(S,K,T,\sigma,r,q\)，外加模型选择）。欧式价格可由 BS（或同一棵树的欧式回溯）给出；美式 = 欧式 + 提前行使溢价，用二叉树逐节点「取 max」把它算出来。

推导。两期二叉树数值例：\(S_0=100\)，\(K=100\)，\(u=1.2\)，\(d=0.8\)，每期利率 5%，风险中性概率 \(p=(1.05-0.8)/(1.2-0.8)=0.625\)。欧式 put：到期 payoff 为 \(uu{:}\,0\)、\(ud{:}\,4\)、\(dd{:}\,36\)，期望 \(0.46875\times 4+0.140625\times 36=6.9375\)，贴现得 \(6.9375/1.05^2\approx 6.29\)。美式 put：在下行节点 \(S=80\) 处，内在价值 20，持有价值 \((0.625\times 4+0.375\times 36)/1.05\approx 15.24\)，行使更优，节点价值取 20；回溯到根：\((0.625\times 1.43+0.375\times 20)/1.05\approx 7.99\)。提前行使溢价 \(\approx 7.99-6.29=1.70\)。

检验。溢价为正符合「美式 \(\ge\) 欧式」；把利率改为 0 重算，下行节点行使价值与持有价值相等（20 vs 20），溢价缩小——与「提前行使的主要动力是 K 的利息」一致。在适当构造和模型条件下加密树可检验收敛；误差速率和振荡取决于离散方案，不能一律保证O(1/n)。

面试怎么讲。口径：「同一到期日时，美式 = 欧式 + 提前行使溢价；欧式部分我用 BS/树的欧式公式，溢价部分我在树上每个节点做 \(\max(\text{内在价值},\text{持有价值})\) 回溯。无分红且非负利率的标准call两者相等，不用另算提前行使溢价。」

先区分持有与对冲。买入并持有到期的 straddle 支付为 \(|S_T-K|\)，净损益为该支付减权利金。仅给“预期实现波动率”和隐含波动率，未给到期、执行价、价格终值分布、漂移和成本，无法唯一排序 A、B。更不能仅以 B 的方差差更大就断言 B 必胜。

同一简单模型下怎样比较。额外假设两者同价 S、同到期 T、K=S、零利率无股息、真实终值为同均值对数正态，并把给出的实现波动率当作真实模型的固定波动率。平值跨式期望支付函数为：

A、B 的预期期权净损益分别为 \(F(0.25)-F(0.20)\) 与 \(F(0.35)-F(0.30)\)。因为正波动率区间中 \(F'(\sigma)=2S\sqrt T\,\phi(\sigma\sqrt T/2)\) 随 σ 下降，同为增加 0.05 时，A 的绝对期望利润在该模型下略高。一阶小波动近似将两者看成相同；这不支持“B 一定更高”。

若进行 delta 对冲。理想连续对冲的漂移损益常写为 \(\tfrac12\Gamma_tS_t^2(\sigma_{r,t}^2-\sigma_{i,t}^2)\,dt\)。比较需要整个路径上的 Gamma、价格、隐波与成本。A 的方差差为 0.0225，B 为 0.0325，但 Gamma 并不相同，不能只比较两个方差差。跨式 vega 是两腿之和，近平值约 \(0.8S\sqrt T\)，不是单腿的 \(0.4S\sqrt T\)。

建模。平值 vega \(\approx 0.8\,S\sqrt{T}\)（straddle，两倍单腿），只随剩余期限 \(T\) 变化。

推导。一个月按 21 个交易日计，过 5 天剩 16 天：

即 vega 下降约 13%。且衰减在加速：vega 对剩余时间的导数绝对值为 \(0.8S/(2\sqrt{T})\)，\(T\) 越小每过一天掉的 vega 越多——若从 10 天掉到 5 天，vega 要掉 \(1-\sqrt{1/2}\approx 29\%\)。

检验。极限自检：到期日 \(T\to 0\)，平值 vega \(\to 0\)，与「最后一秒波动率观点无法再变现」一致；对比 gamma：平值 gamma \(\propto 1/\sqrt{T}\) 随到期上升——vega 在缩水、gamma 在变大，两者不矛盾（gamma 是每单位价格变动的对冲收益，vega 是每单位隐含波动的敞口）。

面试怎么讲。「平值 vega 正比 \(\sqrt{T}\)，5/21 天后乘 \(\sqrt{16/21}\approx 0.87\)；短端 vega 衰减最快，这也是临近到期 theta 最痛、gamma 最肥的原因。」一句话把 vega、theta、gamma 的期限结构串起来。

建模。差异来源按「数据、模型、市场」三层排查，这是执行/做市岗位的现实工作流。

推导（口径）。① 数据层：期权盘口宽且陈旧——短端期权流动性差，mid 价可能来自几小时前的报价，隐含波动率虚高/虚失真；标的价格时间戳不对齐。② 模型层：波动率曲面的插值与外推方式不同（短端、深虚值处尤其敏感）；分红假设不同——下周若有除息日或分红公告不确定，短端 call/put 对它极其敏感；贴现曲线与利率假设不同；Bloomberg 面是平滑过的模型面，你的系统可能用原始成交。③ 市场层：事件溢价——财报、央行议息就在下周，做市商真实报出的隐含波动率高于任何历史面；宽尾/崩盘溢价的买卖不平衡。④ 最后先查自己：合约规格、行权价是否同一只、反解隐含波动率是否收敛失败用了 fallback。

检验。内部一致性检验：用 put-call parity 反推合成远期 \(Se^{-qT}=C-P+Ke^{-rT}\)，若合成远期与现货币种偏离，说明数据/假设有错而非市场异象。

面试怎么讲。「差异 ≠ 套利。我先分数据、模型、市场三层排查：报价新鲜度、曲面插值、分红与利率假设、然后才是事件溢价。最后用 parity 做一致性检验。」展现的是排查框架而不是背清单。

建模。利率市场的面试常客。本例采用单曲线、面值1、年度付息、无额外基差的简化平价swap：固定腿现值等于浮动腿现值。bootstrapping从短期限开始，逐段解出贴现因子，仍依赖现金流日程、计息与插值等建模约定。

推导。平价条件（面值 1、年度支付）：\(c_n\sum_{i=1}^{n}DF_i=1-DF_n\)。设 1 年期 par 利率 5%、2 年期 par 利率 6%。第一期只有一项：\(0.05\,DF_1=1-DF_1\Rightarrow DF_1=1/1.05\approx 0.9524\)。第二期代入：\(0.06(DF_1+DF_2)=1-DF_2\)，解得 \(DF_2=(1-0.06\times 0.9524)/1.06\approx 0.8895\)，对应 2 年期零利率 \(z_2=DF_2^{-1/2}-1\approx 6.03\%\)。

检验。零利率 6.03% 高于两个 par 利率、且高于 1 年期——由贴现因子单调性自洽；贴现因子必须为正；负利率环境下可出现大于1或随期限增加的贴现因子，不能仅凭不递减就判套利。需结合工具、现金流和市场约定核对一致性。

面试怎么讲。「bootstrapping 是把一串平价利率逐段换成贴现因子的机械算法：第 \(n\) 期的方程里只有 \(DF_n\) 未知，前面的都已解出，代入即可。它与统计重采样bootstrap不是同一概念；曲线依赖市场工具、插值和贴现/预测约定，不能说完全没有模型风险。」